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计算回流曲线在某一区间的积分,需用数值积分的方法来实现

  对于回流曲线,通常是用热电偶和测温仪来取得曲线温度数据。目前的测温仪,都是通过距离某一时间t,对被测点温度进行采样,从而得到一组离散的温度-时间曲线。我们只有这条曲线再某些点上的数据,但实际没有详细的函数表达式,更谈不上由初等函数表示的原函数。因此要计算回流曲线在某一区间的积分,需用数值积分的方法来实现。
  在回流曲线中,积分实际上就是区间中的曲边矩形的面积,我们通常的计算方法有近似成矩形,梯形等简朴的几何图形来计算面积,但是这样势必造成较大的误差。因为温度曲线过渡比较平滑,所以我们假设他在较小的范围内可以用不超过三次的多项式来迫临。那么对整条回流曲线来说,则可用复化的辛普森公式来计算数值积分。
  这里,附上数值积分的一些基本思惟和辛普森积分以及复化的辛普森积分和积分精度及误差的相关数学知识。
  1 数值积分
  传统的积分定理是,对于积分
  需要找到被积函数f(x)的原函数F(x),便可以用牛顿-莱布尼兹公式进行如下计算:
  但是在实际题目中,良多被积函数难以找到原函数,甚至还有一些题目中,被积函数是一组离散的数据,连函数表达式都没有。对于这样的一些题目,数值积分就显得有研究必要了。在数值积分方法中有一类称为机械求积,这类积分是将求原函数的题目化解为函数求值的题目来进行计算。也就是在积分区间[a,b]上适当取某些节点xk,然后用f(xk)的加权均匀得到均匀高度f(ζ)的近似值,这样构造出以下积分公式:
  其中xk称为求积节点,Ax为求积系数,也就是与xk对应的权。
  对于不同的求积公式,有不同的精度,计算得积分误差也需要详细分析。假如某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能正确地成立,但对m+1次多项式就不正确成立,则称该积分公式具有m次代数精度。我们可以验证,常用的梯形公式和矩形公式都只具有一次代数精度。
  另外,对于求积公式的收敛性和不乱性也有更加深入的探讨,这里就不再胪陈。
  2         辛普森(Simpson)积分
  积分公式:
  代入牛顿-科特斯公式,即可得到辛普森公式。另外,需要指出,高阶的牛顿-科特斯公式是不不乱的,在n 8时,科特斯系数泛起负值,用此法计算的积分误差会增大,故n 8的牛顿-科特斯积分是不用的。
  1)       精度和误差:
  当n为偶数时,可以证实,牛顿-科特斯公式至少有n+1次代数精度。另,可以通过详细证实,得辛普森公式实际上具有三次代数精度。因为他具有三次代数精度,所以对于不大于三次的多项式构造,辛普森公式是精确的。
  2         复化的辛普森积分
  因为我们对一条复杂曲线的数值拟合,有时候通过增加多项式阶数来实现,但是在大区间内,这种做法往往不能合用,另外,高阶的牛顿-科特斯公式也是不不乱的,这就引出了复化积分的做法。复化积分也就是把某个大区间内的曲线积分划分为多个小区间(通常是等分)的积分,然后再乞降。这样就能解决不确定曲线或者无显著多项式拟合曲线的数值积分题目。
  b为要计算的区间的时间数值,实际上我们是要求在某个温度值下的积分计算,因此,这里的a和b实际上对应f(a)=Ta和f(b)=Tb的时间。
  h取为2倍时间距离,也就是实际测温仪的采样时间△t的2倍,h=2△t。
  x就是指时间,f(x)则对应x时刻的温度。
  为表述方面,假设a时刻开始,对应的时间为Ta,对应温度为f(Ta)= Ta;结束时间b时刻,对应的时间为Tb,对应温度为f(Tb)= Tb。那么中间每距离△t,增加一个编号,也就是每个 对应是 向后距离△t。这样,每个 和 对应的f(x)实际上都对应了采样的温度。公式中的那么从采样点来看,从a到b,包含a和b,总共应该有m个采样点
  详细合用采样点进行计算的时候:
  也就是从采样点a开始,每隔 的采样点的温度相加,直到加到
  也就是从采样点 开始,每隔 的采样点的温度相加,直到 。
  也就是说,只要有等距离的m个采样点的数据,就可以计算这个区间内的温度曲线的积分。从实际的工程需要上来说,采样时间通常小于1秒,而辛普森积分已经完全能够知足温度曲线积分计算的精度。
  2 回流曲线多种积分计算差异分析
  这里,我们用实际测温仪测的曲线液相线以上数据进行计算,使用了复化辛普森积分,复化矩形积分、复化梯形积分和近似三角形面积的计算方法,得到如下数据:
  假如设复化辛普森积分计算出来的面积为1,可得其他面积计算方法和他的比值如表2,并且计算其均值和方差,从而看出大概差异。
  6 结论
  回流曲线采用复化辛普森积分计算方法,是目前采用的计算方法中最接近实际曲线面积积分的方法